Разделы сайта
Выбор редакции:
- Сибирская академия государственной службы (СибАГС) Сибирский университет управления при президенте рф
- Методические указания и рекомендации «Документация по сопровождению инклюзивного образования в образовательных учреждениях Формы организации инклюзивного образования
- Открытия кеплера в математике и оптике Что открыл иоганн кеплер
- Католические молитвы - Nokami — LiveJournal Молитвы католическим святым
- Простая диагностика сложных патологий – УЗИ позвоночника Показывает узи поясничного отдела позвоночника
- Лечение грыжи позвоночника по методу бубновского Кинезотерапия упражнения при грыже позвоночника
- Равномерное прямолинейное движение
- Бухгалтерия автономного учреждения новосибирск
- Смерть от алкоголизма и алкогольной интоксикации
- Что такое снижение толерантности к глюкозе: причины, симптомы и подходы к лечению
Реклама
Вероятность случайного события может принимать. Классическое и статистическое определение вероятности. Виды случайных событий |
Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей. ШагиВероятность единичного случайного события
Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера. Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое. Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее. Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов. Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А . Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.
где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев. Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков? Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем Р(А) = = . ◄ Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства: 1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ Р (А ) ≤ 1. 2. Вероятность достоверного события равна единице. 3. Вероятность невозможного события равна нулю. Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима. Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности. Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний. В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий. Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения. Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.). Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно. ЗарождениеЕсли попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально. Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными. Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы. ЕдиномышленникиНельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:
Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:
Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты. Основные понятияПеред тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном. Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти». Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание". Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится. Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB. Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В. Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В. Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти. Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой. Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В. Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее. Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В. Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды. Основные формулыИтак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль. Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое. Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии. Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению. Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом: P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n! Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения. Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так: A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)! Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу. Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний: C_n^m = n ! : ((n - m))! : m ! Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило. С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом: В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов. Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий: P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий; P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых. Вероятность произведения событий: P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий; (P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых. Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так: P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез. ПримерыЕсли тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки. Формула для числа перестановокДопустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом? Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!. Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28! В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29! Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29! Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать. 30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28 Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32 Решение примера. Формула для числа размещенияВ данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать. В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000 Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000. Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов. Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула. В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16. Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!. Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30! Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!. Решение примера. Формула для числа сочетанияСейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых. Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать. C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520 Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520. Решение примера. Классическое определение вероятностиС помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий. В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего. Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле: P(A) = 6: 10 = 0,6 Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6. Решение примера. Вероятность суммы событийСейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета. Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.
По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18. Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения: P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18. Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи. ИтогВ статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события. В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят! РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ Кафедра Социологии и информационных технологий Типовой расчет №1 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» на тему «Основы теории вероятностей» Орел – 2016. Цель работы: закрепление теоретических знаний по теме основы теории вероятности, путем решения типовых задач. Усвоение понятий основных видов случайных событий и отработка навыков алгебраических действий над событиями. Требования к оформлению работы : работа выполняется в рукописном виде, работа должна содержать все необходимые пояснения и выводы, формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений, страницы должны быть пронумерованы. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы. Основные теоретические сведения Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Понятие события. Классификация событий. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Обозначаются события большими латинскими буквами А , В , С ,… Событие – это возможный результат (исход) испытания или опыта. Под испытанием понимается всякое целенаправленное действие. Пример : стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. Событие называется случайным , если в условиях данного опыта оно может, как произойти так и не произойти. Пример : Выстрел из ружья – испытание Соб. А – попадание в цель, Соб. В – промах – случайные события. Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Пример : выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости. Событие называется невозможным , если в условиях данного опыта оно вообще не может произойти. Пример : выпадение более 6 очков при бросании игральной кости. События называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность наступления какого-либо другого. В противном случае события называются совместными. Пример : Брошен игральный кубик. Выпадение 5 очков исключает выпадение 6 очков. Это несовместные события. Получение студентом на экзаменах оценок «хорошо» и «отлично» по двум различным дисциплинам – события совместные. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными . Событие противоположное событию А обозначают Ā . Пример : Появление «герба» и появление «решки» при подбрасывании монеты – противоположные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Пример : извлечение из колоды карт туза, десятки, дамы – события равновозможные. Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Пример : Выпадение числа очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 при бросании игральной кости. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события. Назовем элементарным исходом каждый из равновозможных результатов испытания. Исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию А , если его появление влечет за собой наступление события А . Классическое определение : вероятность события А равна отношению числа благоприятных для данного события исходов к общему числу возможных исходов. (1) где P (A ) – вероятность события А , m – число благоприятных исходов, n – число всех возможных исходов. Пример : В лотерее 1000 билетов, из них 700 невыигрышных. Какова вероятность выигрыша по одному приобретенному билету. Событие А – приобретен выигрышный билет Число возможных исходов n =1000 – это общее число билетов в лотерее. Число исходов, благоприятствующих событию А – это число выигрышных билетов, т.е., m =1000-700=300. По классическому определению вероятности: Ответ: Отметим свойства вероятности события : 1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0≤P (A )≤1. 2) Вероятность достоверного события равна 1. 3) Вероятность невозможного события равна 0. Кроме классического существуют еще геометрическое и статистическое определения вероятности. Элементы комбинаторики . Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа исходов широко используют формулы комбинаторики. Пусть дано множество N из n различных элементов. Определение 1: Комбинации, в каждую из которых входят все n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов. Pn =n ! (2), где n ! (n -факториал) – произведение n первых чисел натурального ряда, т.е. n ! = 1∙2∙3∙…∙(n –1)∙n Так, например, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120 Определение 2: m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга или составом элементов или их порядком называются размещениями из n по m элементов. (3) Определение 3: Комбинации, каждая из которых содержит m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга только составом элементов называются сочетаниями из n по m элементов.
Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач Правило суммы: если объект А может быть выбран m способами, а объект В – n способами, то выбор либо А либо В может быть осуществлен m +n способами. Правило произведения: если объект А может быть выбран m способами, а объект В после каждого такого выбора можно выбрать n способами, то пара объектов А и В в указанном порядке может быть выбрана m ∙ n способами. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно. Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий. Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием. Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему. Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события. Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём … По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 . Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте: где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев. Примеры: 1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = . 2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными. А - вынутый наугад шар красный: m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) = B - вынутые наугад два шара красные: Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно): 1) Вероятность невозможного события равна 0; 2) Вероятность достоверного события равна 1; 3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1; 4) Вероятность события, противоположного событию А, Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности. Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях: где - вероятность появления события А; Относительная частота появления события А; Число испытаний, в которых появилось событие А; Общее число испытаний. В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной. Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака. Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами: Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико. Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. |
Популярное:
Новое
- Методические указания и рекомендации «Документация по сопровождению инклюзивного образования в образовательных учреждениях Формы организации инклюзивного образования
- Открытия кеплера в математике и оптике Что открыл иоганн кеплер
- Католические молитвы - Nokami — LiveJournal Молитвы католическим святым
- Простая диагностика сложных патологий – УЗИ позвоночника Показывает узи поясничного отдела позвоночника
- Лечение грыжи позвоночника по методу бубновского Кинезотерапия упражнения при грыже позвоночника
- Равномерное прямолинейное движение
- Бухгалтерия автономного учреждения новосибирск
- Смерть от алкоголизма и алкогольной интоксикации
- Что такое снижение толерантности к глюкозе: причины, симптомы и подходы к лечению
- Мирена инструкция и описание к лекарственному препарату Левоноргестрел механизм действия